A. Beliukevičius 1939 m. sausio 29 d. gimė Kietaviškėse, Trakų rajone.
„Atvažiavau į Vilnių. Įstojau į dešimtmetės muzikos mokyklos choreografijos skyrių, nors baleto dar nebuvau matęs, – pasakojo A. Beliukevičius. – Pirmuosius dvejus metus mokykloje dėstė Vytautas Grivickas. Šokti plie jis mus mokė vaizdžiai, sakydavo: „Jūs esate įsprausti tarp dviejų sienų, o dabar turite taip ir įtūpti.“ Trečius metus mokė Bronius Kelbauskas. Atsimenu, kartą išsirengė (jam tuomet buvo jau per 50) ir rodė, kaip reikia šokti assemble. Jis man patarė: „Jei nori šokti kaip Nižinskis, surask klampią vietą ir šokinėk.“ Per vasaros atostogas aš taip ir darydavau.“
Baigęs A.Vaganovos baleto mokyklą A.Beliukevičius grįžo į Lietuvos operos ir baleto teatrą Vilniuje, čia porą sezonų šoko spektakliuose „Spragtukas“ ir „Eglė žalčių karalienė“. Tačiau mokantis pažintas didmiestis paviliojo atgalios: 1961–1967 m. A.Beliukevičius šoko Leningrado Mažajame operos ir baleto teatre (dabar – Michailo teatras Sankt Peterburge). Ten pasirodė Cezare‘s Pugni balete „Arkliukas kupriukas“, Adolphe‘o Adamo balete „Korsaras“, Piotro Čaikovskio balete „Gulbių ežeras“, Sergejaus Prokofjevo „Klasikinėje simfonijoje“ ir kituose šio teatro pastatymuose.
Scenосс karjerą pratęsė Vilniuje, iki 1981 m. buvo Lietuvos operos ir baleto teatro baleto trupės solistas. Čia šoko Bazilį Leo Minkaus „Don Kichote“, Mėlynąjį paukštį P.Čaikovskio „Miegančiojoje gražuolėje“ ir Princą to paties kompozitoriaus „Spragtuke“, taip pat atliko vaidmenis lietuviškuose baletuose: žiūrovai jį regėjo kaip Jonį Juliaus Juzeliūno balete „Ant marių kranto“, Ugnių Antano Rekašiaus balete „Aistros“, Marių Juozo Indros balete „Audronė“.
Bet įsimintiniausiu sau spektakliu A.Beliukevičius vadina Dmitrijaus Šostakovičiaus baletą „Panelė ir chuliganas“, kuriame jis šoko Chuliganą, o Svetlana Masaniova – Panelę.
Baigęs šokėjo karjerą, artistas 1981–1984 m. studijavo Lietuvos konservatorijos Klaipėdos fakultetuose ir tapo pedagogu. 1984–1986 m. dirbo Telšių kultūros mokyklos direktoriumi. 1986–1994 m. dėstė klasikinį šokį Vilniaus baleto mokykloje, trejus metus dirbo šios mokyklos direktoriaus pavaduotoju. Žymiausi jo išugdyti mokiniai – Petras Skirmantas, Jurijus Smoriginas ir šiuo metu Baleto skyriui Nacionalinėje M.K.Čiurlionio menų mokykloje vadovaujantis Eligijus Butkus.
