R. Velykis Rokiškio mero pareigas ėjo 2007–2008 metais, taip pat iki 2019 metų buvo Rokiškio tarybos nariu.
Jis priklausė Lietuvos socialdemokratų partijos Rokiškio rajono skyriui, tapo šio skyriaus pirmininko pavaduotoju, LSDP tarybos nariu, o 2005–2008 m. – skyriaus pirmininku, Rokiškio skyriaus prezidiumo nariu.
