S.Klevinskas gimė ir užaugo Marijampolėje, „Sūduvoje“ pradėjo profesionalo karjerą. Gimtajame klube S.Klevinskas rungtyniavo 2001-2009 metais, buvo komandos kapitonas ir su ja 2007 metais tapo Lietuvos vicečempionu, 2005 ir 2009 metų bronzos medalių laimėtoju, taip pat 2006 ir 2009 metais iškovojo Lietuvos futbolo federacijos (LFF) taurę bei 2009 metų supertaurę.
Vėliau marijampoliečio kelias vedė į Jerevano „Mika“ (2010 m.), Vilniaus „Žalgirį“ (2010-2011 m.) ir Maskvos „Torpedo“ (2011-2014 m.). Žaisdamas Rusijoje, 2011 metais S.Klevinskas buvo išrinktas geriausiu šios šalies I lygos vartininku.
2014 metų pabaigoje vartų sargas grįžo į „Žalgirį“, kuriam atstovavo iki 2017 metų vasaros, o sezoną užbaigė Vilniaus „Vytyje“, kuriam padėjo I lygoje laimėti bronzos medalius ir pasiekti LFF taurės turnyro pusfinalį.
Šiuo metu „Sūduvoje“ liko du vartininkai – kroatas Ivanas Kardumas ir 18-metis Vilius Stebrys, o pamainos S.Klevinskui dar ieškoma.
