31 metų panevėžietis „Sūduvoje“ žaidė 2007 metais, kuomet į Marijampolę persikėlė iš gimtojo „Ekrano“. Tuomet gynėjas „Sūduvoje“ sužaidė 11 rungtynių ir su komanda tapo Lietuvos vicečempionu.
Vėliau futbolininkas rungtyniavo Ukrainos „Dnipro“ ir „Kryvbas“ klubuose, latvių Rygos „Daugava“, „Trakuose“, Vilniaus „Žalgiryje“, o pastaruoju metu žaidė Rumunijoje. 2019-aisiais L. Klimavičius atstovavo Bukarešto „Dinamo“, o šiemet persikėlė į Jašų „Politehnica“.
„Sūduvoje“ gynėjas vilkės 2 numeriu pažymėtus marškinėlius.
Jei bus spėta sutvarkyti visus perėjimo dokumentus, L. Klimavičius penktadienį jau galės žaisti per LFF taurės turnyro ketvirtfinalio rungtynes su „Vilniaus Vyčiu“. Šis mačas sostinės LFF stadione penktadienį prasidės 19 val.
