21 metų vilnietis žiemą dalyvavo sostinės klubo treniruotėse ruošiantis sezonui, o sulaukęs „Žalgirio“ pasiūlymo šią savaitę pasirašė pirmąjį savo profesionalo kontraktą.
Pastaruosius kelerius metus K. Kontautas futbolą derino su studijomis Jungtinėse Amerikos Valstijose, „Wisconsin Green Bay Athletics“ universiteto komandoje.
Futbolo kelią K. Kontautas pradėjo 2008 m. įkurtoje „Žalgiriečio“ (dabar – „Žalgirio“) akademijoje.
2019 m. saugas buvo kviečiamas į Lietuvos U-17 rinktinę, o 2020 m. debiutavo „Žalgirio“ dublerių komandoje, kurioje žaidė iki 2021 m. vasaros.
„Žalgirio“ gretose anksčiau yra žaidęs Kajaus tėvas Gediminas Kontautas, kuris 1991 ir 1992 m. su Vilniaus komanda tapo šalies čempionu.