B. Klevinskas 1958 m. baigė vidurinę mokyklą Marijampolėje, 1962 m. – Lietuvos valstybinę konservatoriją, aktoriaus specialybę. Nuo 1964-ųjų dirbo Lietuvos televizijoje – diktoriumi, režisieriumi, redaktoriumi, scenaristu. 1992 m. paskirtas Lietuvos televizijos naujienų tarnybos vadovo pavaduotoju. Televizijoje dirbo iki 2001-ųjų.
Režisavo daug TV publicistinių ir meninių pastatyminių laidų, sukūrė scenarijų dokumentiniams filmams „Sėkmės formulė“, „Estafetė“, „Keltas“, „Iš vienų rankų“, TV apybraižoms „Mosėdis“, „Anykščiai“, „Širvintos“, dviejų serijų meniniam filmui „Chameleonas“.
Nuo 1962 m. Lietuvos teatro veikėjų sąjungos, nuo 1986 m. Lietuvos žurnalistų sąjungos narys.
Broniui Klevinskui atminti LRT keičia televizijos programą:
Rugsėjo 7 d. 20:15 TV režisieriui, scenaristui, žurnalistui Broniui Klevinskui atminti. Elan vital. Gyvenimo prasiveržimas. Dokumentinis filmas. Scen. aut. Bronius Klevinskas, rež. Petras Savickis. 1997 m. Kartojama rugsėjo 8 d. 07:50.
