27-erių metų vidurio saugas yra vieno stipriausių Kroatijos klubų „Osijek“ auklėtinis, šioje ekipoje 2008 metais ir pradėjo profesionalo karjerą.
2013 metais futbolininkas perėjo į „Rijeka“, kuri po sezono metams jį paskolino „Zadar“ ekipai. 2015 metais D. Pušičius išvyko į Šveicariją ir vieną sezoną atstovavo „Lugano“. Po metų saugas grįžo į „Osjjek“, kuriam atstovavo iki šios metų vidurio.
Kroatijos aukščiausioje lygoje D. Pušičius sužaidė 170 rungtynių, buvo kviečiamas į savo šalies 18-mečių, 19-mečių ir 20-mečių rinktines.
„Sūduva“ su kroatu sudarė sutartį iki 2020 metų sezono pabaigos. Marijampolėje saugas vilkės 25 numeriu pažymėtus marškinėlius.
