J. Bašmetas buvo pirmasis, pagrojęs alto rečitalius prestižinėse „Carnegie Hall“, „Concertgebouw“, „La Scala“, „Albert Hall“, Maskvos konservatorijos Didžiojoje salėse. Jis nuolat koncertuoja su garsiausiais solistais, orkestrais ir dirigentais, jo įrašai pelno prestižinius apdovanojimus. Altininkas ne tik dalyvauja kasmet vykstančiuose muzikos festivaliuose, bet ir rengia savąjį mažame Vokietijos miestelyje Rolandseke, netoli Bonos. Nuo 1993 m. J. Bašmetas – ir Turo festivalio Prancūzijoje meno vadovas. Tais pačiais metais Londone jam buvo įteiktas „Geriausio metų muzikanto“ žymuo, po poros metų Kopenhagoje – Danijos „Leonie Sonnings“ prizas. 1999 m. jis apdovanotas Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Gedimino ordino Karininko kryžiumi.
J. Bašmetas – ne tik solistas, kamerinių ansamblių atlikėjas, pedagogas (jaunas tapo Maskvos konservatorijos profesoriumi), įvairių konkursų žiuri narys ar pirmininkas, bet ir orkestrų vadovas bei dirigentas. 2003 metais Lietuvoje jis įnauguravo Vilniaus festivalio orkestrą; yra Naujosios Rusijos simfoninio orkestro vyriausiasis dirigentas. Didžioji maestro meilė – jo suburtas, 15 metų sukaktį šiemet švenčiantis orkestras „Maskvos solistai“.