Pirmąją Velykų dieną kaunietis buvo pastebėtas Vilniaus senamiestyje. Jis ėjo gatve kartu su žmona Agneta, o sportinio tipo vežimėlyje sėdėjo poros sūnus Jokūbas, kuriam birželį sukaks vieneri.
Šis Kleizų šeimos pasivaikščiojimas buvo reta proga pašaliniams išvysti mažylį, nes krepšininkas savo asmeninį gyvenimą nuo visuomenės saugo po devyniais užraktais. Jis niekada nerodo sūnaus, niekada nekalba nei apie jį, nei apie Agnetą, o poros vestuvės buvo tokios slaptos, kad nuo pašalinių akių jas saugojo profesionalūs apsaugininkai.
Tik pernai per labdaringą šventę Naujosios Vilnios bibliotekos vaikų ir jaunimo dienos centre „Mūsų nameliai“ Linas prasitarė, kad vaikai jam yra labai svarbūs: „Man visada tai buvo svarbu. Tapęs tėvu dar labiau supranti, ką reiškia vaikai. Ši veikla visada buvo prie širdies, o kai tampi tėvu tai tampa dar svarbiau.“
Vienas garsiausių šalies krepšininkų šiuo metu niekur nežaidžia, nes nesijaučia galintis žaisti visu pajėgumu. Ne vienerius metus Lietuvos nacionalinei ekipai atstovavęs L.Kleiza pastaruosius kelis metus neišsivaduoja iš problemų su dešiniuoju keliu. 2011 metais jam Kanadoje buvo atlikta artroskopinė kelio operacija, tačiau po jos krepšininkas vis dar neatsigavo, nors dar 2013-siais su ekipa laimėjo Europos pirmenybių sidabrą Slovėnijoje.
2013-ųjų vasarą lietuvio atstovaujamas „Toronto Raptors“ pasinaudojo amnestijos taisykle ir nutraukė sutartį su L.Kleiza – šis sugrįžo į Europą.
Suderėjęs su turkų Stambulo „Fenerbahce“, jis metus praleido šioje komandoje, po to persikėlė į italų Milano „Emporio Armani“, tačiau lyderiu nebuvo – klubai buvo nusivylę jo pasirodymu.
