Garsioji mokslo populiarintoja, matematikė, pianistė ir muzikos teoretikė Eeugenia Cheng, rašydama knygas ir skaitydama paskaitas, tikisi pasaulį išgydyti nuo matematikos fobijos.
Ir savo knygoje „Logikos menas. Kaip logiškai mąstyti nelogiškame pasaulyje“ (iš anglų kalbos vertė Vytautas Grenda; išleido Lietuvos rašytojų sąjungos leidykla), ir paskaitose, kad būtų suprantamiau ir vaizdingiau, ji naudoja analogijas su kulinarija ir net yra sukūrusi tobulo dydžio picos matematinę formulę.
Siūlome ištrauką iš „Logikos meno“ – įžvalgios, naudingos ir linksmos knygos, kuri skirta kiekvienam žmogui, siekiančiam aiškiau mąstyti, pasitelkus matematinę logiką susivokti melagingų naujienų persunktame ir dažnai alogiškame pasaulyje.
* * *
APIE BROKOLIUS IR LEDUS
Vienas iš mano mėgstamų implikacijos ir atvirkštinio teiginio pavyzdžių – „Jei suvalgysi brokolius, gausi ledų“. Turiu atvirai pripažinti: vartojant įprastą kalbą, šie dalykai pasidaro gana painūs – kaip tik todėl matematikai, siekdami aiškumo, kuo skubiau stengiasi ją pakeisti raidėmis ir simboliais. Tačiau pamėginkime išsiversti su žodžiais.
Logiškai, paprastai mąstantis vaikas, žūtbūt trokštantis išvengti brokolių, pirmiausia gali paklausti, kokie kiti patiekalai tiktų kaip ledų garantija. Toks vaikiškas tikslumas suaugusiajam atrodytų pedantiškas, todėl jis, pavyzdžiui, irzliai atšautų: „Juk žinai, ką noriu pasakyti!“ Tačiau vaikas siekia aiškumo ir ieško išeities – kaip išvengti brokolių. (Vaikystėje nebuvau tokia – brokolius visada mėgau. Gal dėl to, kad jais man niekada negrasino. O gal jais niekada nebuvo grasinama dėl to, kad juos mėgau.)
Toliau vaikas gal sakytų: „O ką, jei vietoj jų suvalgyčiau žuvies?“ „Ne, privalai suvalgyti brokolius!“ Arba: „Ne. Ledų gausi tik tada, jei suvalgysi brokolius!“ Abu atsakymai yra atvirkštiniai teiginiai, tačiau, nagrinėjant brokolių pavyzdį, tai įžvelgti sunkoka, nes iš tikrųjų pradinis teiginys jame yra ne loginė implikacija, o veikiau mėginimas papirkti.
Štai kokius du teiginius pateikė suaugusysis. Pirmas: „Jei suvalgysi brokolius, gausi ledų. Brokoliai → ledai.“
Vaiką šie žodžiai patikina, kad po brokolių bus ledai. Čia sakoma: jei vaikas suvalgys brokolius, to pakaks nusipelnyti ledų.
Tada suaugusysis pasakė: „Ledų galėsi valgyti tik tada, jei suvalgysi brokolius. Ledai → brokoliai.“ Šie žodžiai užtikrina suaugusįjį, kad vaikui nederėtų ieškoti kitų būdų nusipelnyti ledų. Sakoma: norint pelnyti ledų, brokoliai būtini, ir šio reikalavimo išvengti negalima. Pirmos implikacijos atžvilgiu šis teiginys yra atvirkštinis. (Jei atrodo keista, kad rodyklės kryptis čia tokia, žodžius galima suprasti taip: sakoma – jei paskui pamatytume vaiką, valgantį ledus, galėtume padaryti loginę išvadą: jis, reikia manyti, brokolius suvalgė.)
Šio pavyzdžio tikslas yra paaiškinti, kodėl vartoti žodžius „tik jei“ yra vienas iš būdų išreikšti atvirkštinį teiginį – logika čia juda priešinga kryptimi nei pradiniame teiginyje „jei...“ Kad savo garantijas gautų ir vaikas, ir suaugusysis, pažadas, formaliai žiūrint, turėtų būti „ledų galėsi valgyti, jei, ir tik jei, suvalgysi brokolius“. Visa bėda, kad, tikriausiai, taip sakyti vargintųsi tik gana pedantiškas matematikas. Taigi nuo vaikystės matome netikslią vartoseną – „tik jei“ reiškia tą patį, ką ir „jei, ir tik jei“. Laikyti šiuos junginius skirtingais įprastoje kalboje greičiausiai būtų pedantiška, nes jei tikslas – aiškumas, taip darant persistengiama. Deja, žmonės, dar visai neseniai apie logiką pradėję mąstyti formaliai, jų neskirdami susipainioja. Svarbesnėse situacijose tai gali lemti skaudesnes pasekmes.
Įsivaizduokite – gaudote būrį banko plėšikų ir žinote: visa gauja – vien baltieji vyrai. Taigi jums yra žinoma, kad jei jūsų sutiktas žmogus priklauso tai gaujai, jis yra baltasis. Šis teiginys ekvivalentus tokiam: „Jūsų sutiktas žmogus gali būti tos gaujos narys, tik jei jis yra baltasis.“ Taigi galime pradėti dairytis baltųjų. Tačiau tai, kad radome baltąjį, dar neužtikrina radus nusikaltėlį, nes atvirkštinis teiginys neteisingas. Atvirkštinis teiginys būtų toks: „Jei jūsų sutiktas žmogus yra baltasis, jis priklauso tai gaujai.“
Būti baltajam yra būtinoji, tačiau ne pakankamoji sąlyga priklausyti gaujai. Toks metodas – ieškoti baltųjų – būtų prasmingas, jei žinotumėte, kad gaujoje buvo penki žmonės ir kad šalyje gyvena lygiai penki baltieji. Taip ieškoti gal būtų protinga net ir tada, jei žinotumėte, kad šalyje yra lygiai dešimt baltųjų vyrų, nes, susėmus penkis, tikimybė pagauti dalį tikrųjų nusikaltėlių būtų gana didelė. Didėjant šalies baltųjų vyrų populiacijai, toks metodas pamažu darosi nebepanašus į logiką ir labiau primena rasizmą. Iš tikrųjų tikėtina, kad toks klasifikavimas taikomas nebaltiesiems, o baltiesiems jo patirti netenka. Kokią dalį šalyje ar mieste turi sudaryti mažuma, kad toks elgesys pasidarytų neberacionalus ir rasistinis? Tai klausimas apie pilkąsias sritis – prie šios temos grįšime. Turime būti labai atsargūs, kad su didėjančiais skaičiais susiję samprotavimai netaptų loginiu išankstinės nuostatos pateisinimu.
Vartojant įprastą kalbą, šie dalykai labai greitai gali jus taip supainioti, kad net ims suktis galva. Tai viena iš priežasčių, dėl kurių matematikai viską supaprastina – vartoja raides ir simbolius, todėl įžiūrėti struktūrą lengviau. Vartodami rodykles, gauname: Teisinga: „gauja → baltasis.“ Klaidinga: „Baltasis → gauja.“
