Jis gimė 1933 m. liepos 24 d. Panevėžyje. Pradžios mokyklą baigė Surdegyje, kur mokytojavo jo tėvai. Mokydamasis Kupiškio vidurinėje mokykloje vadovavo mokytojų ir moksleivių kameriniam orkestrui, smuiku ir saksofonu grojo įvairiuose ansambliuose, rašoma Muzikos sąjungos tinklapyje.
1951–1956 m. Vilniaus valstybiniame universitete studijavo ekonomiką ir greta mokėsi Vilniaus Juozo Tallat-Kelpšos muzikos mokykloje kompozicijos Povilo Tamuliūno klasėje. Universitete suorganizavo studentų kamerinį orkestrą. 1957–1962 m. choro dirigavimą studijavo Lietuvos valstybinėje konservatorijoje (doc. Antano Budriūno klasė).
Konservatoriją baigė su pagyrimu. 1968 m. stažavo Budapešto F. Liszto aukštojoje muzikos mokykloje, dalyvavo tarptautiniame choro dirigentų seminare Berlyne. 1980–1981 m. kėlė kvalifikaciją Maskvos valstybinėje P. Čaikovskio konservatorijoje (prof. A. Chazanovo choro dirigavimo klasė).
1956 m. įkūrė Ukmergės vaikų muzikos mokyklą ir iki 1959 m. buvo jos direktorius. Kurį laiką vadovavo vaikų chorui ir kaimo mišriajam chorui. 1959 m. persikėlęs į Vilnių buvo Vilniaus vaikų muzikos mokyklos, Juozo Tallat-Kelpšos muzikos mokyklos, vėliau M. K. Čiurlionio vidurinės meno mokyklos teorinių dalykų dėstytojas, pastarosios mokyklos ir muzikos teorijos metodinės komisijos pirmininkas.
1965 m. tapo Lietuvos valstybinės konservatorijos Choro dirigavimo katedros dėstytoju, nuo 1984 m. docentu, nuo 1992 m. Lietuvos muzikos ir teatro akademijos profesoriumi. Išugdė 12 choro dirigentų, tarp jų Petrą Bingelį, Juozapą Kairį, Romaldą Misiukevičių. 1981 m. apginta menotyros mokslų kandidato disertacija, vėliau nostrifikuota humanitarinių mokslų (muzikologijos) daktaro disertacija.
Svarbesni K. R. Kašponio darbai: „Harmonijos pagrindai“ (1965), „Sofedžio“ (1969, iki 2017 m. išleista net 12 laidų), „Choro pratybos“ (kartu su P. Tamuliūnu, 1973), „Harmonija“ (I dalis – 1984, II dalis – 1988), monografija „Lietuvių muzikos melodika ir harmonija“ (1992), kurioje, panaudojęs lyginamąjį ir tikimybinį – statistinį tyrimo metodus, nustatė kai kurias melodikos ir lietuvių kalbos dėsningumų analogijas. Jis parašė istorinę apybraižą „Lietuvos muzikos akademija“ (1994), straipsnių, chorų koncertų recenzijų, sukūrė kūrinių chorams. Buvo 1964 m. I respublikinės moksleivių dainų šventės konsultantas, chorų peržiūrų ir konkursų žiuri narys, respublikinių mokslinių metodinių tarybų muzikos mokymo komisijos narys, kultūros mokyklų valstybinių egzaminų komisijų pirmininkas, disertacijų gynimo komiteto pirmininkas, oficialusis oponentas, Lietuvos muzikos ir teatro akademijos mokslo vardų teikimo komisijos ekspertas.
2011 m. Lietuvos mokslininkų sąjungoje įkūrė Tarpdisciplininės muzikologijos grupę ir jai vadovavo. Grupė prisidėjo prie A. J. Greimo atminimo įamžinimo, M. K. Čiurlionio kūrybos analizės ir propagavimo ir prie kitos UNESCO kuruojamos veiklos. Nuo 2001 m. K. R. Kašponis tyrinėjo vieno iš semiotikos pradininkų A. J. Greimo biografijos Lietuvoje periodą, parengė dokumentinę ekspoziciją „Algirdo Greimo vaikystė“, kuri buvo eksponuota Lietuvoje, Suomijoje, Prancūzijoje, o 2012 m. – pasauliniame semiotikų kongrese Nankine (Kinija). Ekspozicijos pagrindu 2014 m. sudaryta iš išleido knyga „Greimas arti ir toli“ („Greimas Close and Far“), o 2017 m. „Algirdo Juliaus Greimo 100-mečio ženklai“. Jo iniciatyva pagerbtas A. J. Greimo atminimas Kupiškyje, Kaune, Vilniuje, Druskininkuose, Šiauliuose, Marijampolėje, Ukmergėje, Birštone, Klaipėdoje, Palangoje, Prienuose, Pakuonyje, Kunigiškiuose.
